随机变量

• 离散型随机变量
  • 0-1 分布 $b(1,p)$
    • $P(X = k) = (1-p)^{k - 1}p^k\ (k = 0,1)$。
  • 二项分布 $b(n, p)$
    • $X$ 的可能取值为 $0,1,2,\dots,n$，$P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^k$。
  • 几何分布 $G(p)$
    • $X$ 的可能取值集合为 $\mathrm N^*$， $P(X = k) = (1 - p)^{k - 1}p$。
    • 几何分布具有无记忆性，即 $P(X = m + n | X = m) = P(X = n)$。
  • 超几何分布 $H(n,M,N)$
    • $X$ 的可能取值集合为 $[0, \min\{n, M \}] \cap N^*$， $P(X = k) = \dfrac{C_M^k C_{N - M}^{n - k}}{C_N^n}$。
  • 泊松分布 $\pi(\lambda)$
    • $X$ 的可能取值集合为 $N^*$，$P(X = k) = \dfrac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$。
    • 一段时间和空间中出现的事件的个数服从泊松分布。
• 分布函数
  • 定义
    • 设 $X$ 为一个随机变量，$x \in \mathrm R$，则 $F(x) = P(X \le x)$ 称为分布函数。
  • 性质
    • 单调递增。
    • 非负，对于任意 $x$，均有 $F(x) \in [0,1]$ 且 $\lim\limits_{x \to -\infty} F(x) = 0,\lim\limits_{x \to +\infty} F(x) = 1$。
    • 右连续。
• 连续型随机变量
  • 定义
    • 设 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，如果存在非负可积函数 $f(x)$，使得 $F(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^x f(t)\mathrm dt$，则 $X$ 是连续型随机变量，$f(x)$ 是概率密度函数。
    • $f(x) \ge 0$ 和 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\mathrm dt = 1$ 是判断 $f(x)$ 是不是概率密度函数的充要条件。
  • 均匀分布 $U(a,b)$
    • $f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{b - a}, & a < x < b \\ 0, & \text{otherwise}\end{matrix}\right.$，$F(x) = \left\{\begin{matrix} 0, & x < a \\ \dfrac{x - a}{b - a}, & a\le x < b \\ 1, & x \ge b\end{matrix}\right.$
  • 指数分布 $E(\lambda)$
    • $f(x) = \left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{matrix}\right.$，$F(x) = \left\{\begin{matrix} 1 - e^{-\lambda x}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{matrix}\right.$
    • 指数分布有无记忆性。
    • 损坏率不变的事物的寿命、排队时间等服从指数分布。
    • 如果任意 $t$ 时间内，发生某一个事件的个数 $X \sim \pi(\lambda)$，则任意相邻两个事件的间隔 $T \sim E(\lambda)$。
  • 正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$
    • $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left[-\dfrac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right]$。
    • $\mu = 0,\sigma = 1$ 的正态分布称为标准正态分布，其密度函数为 $\varphi(x)$，分布函数为 $\Phi(x)$。
    • 若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $\dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1), F(x) = \Phi\left(\dfrac{x - \mu}{\sigma}\right)$。
    • $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$。
• 随机变量函数
  • 定义
    • $y = g(x)$ 是一个已知函数，$X,Y$ 是随机变量。
    • 如果 $X = x$ 时 $Y = g(x)$，则 $Y$ 是 $X$ 的函数，$Y = g(X)$。
  • 离散型随机变量的函数
    • $X$ 是离散型随机变量时，$Y = g(X)$ 一定是离散型随机变量。
    • 对于不同的 $X = x$ 对应相同 $Y = y$，则把所有对应的概率相加。
  • 连续型随机变量的函数
    • $X$ 是连续型随机变量时，$Y$ 也有可能是离散型的。此时处理方法类似离散型随机变量。
    • 如果 $y = g(x)$ 单调，则有 $f_Y(y) = \left\{\begin{matrix} f_X(h(y))|h'(y)|, & \alpha < y<\beta\\ 0, & \text{otherwise} \end{matrix}\right.$。
      • $h(y)$ 为 $g(x)$ 反函数，$\alpha = \min\{h(a),h(b)\},\beta = \max\{h(a),h(b)\}$。
    • 通用方法：先求 $F_Y(y) = P(g(X) \le y)$，化为用 $x$ 表示后求值，最后求导得到 $f_Y(y)$。