文档
数学
线性代数
矩阵求逆

矩阵求逆

  • 矩阵求逆的方法
    • 定义法
      • 已知矩阵 AA，则设出 A−1A^{-1} 的元素，应用逆矩阵定义 AA−1=IAA^{-1}=I 得出方程组，求解方程组即可。
    • 初等行变换
      • 设 AA 为 nn 阶可逆矩阵，则按照以下步骤求解 A−1A^{-1}：
        • 构造 [AIn]\begin{bmatrix} A & I_n\end{bmatrix}
        • 对其进行初等行变换，化为 [InA−1]\begin{bmatrix} I_n & A^{-1}\end{bmatrix}
        • 得到结果
    • 行列式与伴随矩阵
      • A−1=1∣A∣A∗A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}，其中 A∗A^{*} 表示 AA 的伴随矩阵。
    • 分块矩阵
      • 将矩阵拆分成比较简单的几个子块，然后对分块矩阵和部分子块求逆，得出结果。
  • 常用求逆公式
    • [abcd]−1=1ad−bc[d−b−ca]\begin{bmatrix} a & b\\ c & d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a\end{bmatrix}
    • diag⁡(a1,a2,⋯ ,an)−1=diag⁡(a1−1,a2−1,⋯ ,an−1)\operatorname{diag}(a_1,a_2,\cdots,a_n)^{-1}=\operatorname{diag}(a_1^{-1},a_2^{-1},\cdots,a_n^{-1})
    • [A00D]−1=[A−100D−1]\begin{bmatrix} A & 0\\ 0 & D\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} A^{-1} & 0\\ 0 & D^{-1}\end{bmatrix}
    • [0BC0]−1=[0C−1B−10]\begin{bmatrix} 0 & B\\ C & 0\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} 0 & C^{-1}\\ B^{-1} & 0\end{bmatrix}
    • [AB0D]−1=[A−1−A−1BD−10D−1]=[I−A−1B0I][A−100D−1]\begin{bmatrix} A & B\\ 0 & D\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} A^{-1} & -A^{-1}BD^{-1}\\ 0 & D^{-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I & -A^{-1}B\\ 0 & I\end{bmatrix}\begin{bmatrix} A^{-1} & 0\\ 0 & D^{-1}\end{bmatrix}
    • [A0CD]−1=[A−10−D−1CA−1D−1]=[I0−CA−1I][A−100D−1]\begin{bmatrix} A & 0\\ C & D\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} A^{-1} & 0\\ -D^{-1}CA^{-1} & D^{-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I & 0\\ -CA^{-1} & I\end{bmatrix}\begin{bmatrix} A^{-1} & 0\\ 0 & D^{-1}\end{bmatrix}
矩阵向量