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数学
线性代数
行列式

行列式

  • 定义
    • 对于方阵 A=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann]A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots& \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{bmatrix}，定义 AA 的行列式为 ∑p1,p2,…,pn(−1)τ(p1,p2,…,pn)a1p1a2p2⋯anpn\sum\limits_{p_1,p_2,\dots,p_n}(-1)^{\tau(p_1,p_2,\dots,p_n)}a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}，其中 p1,p2,…,pnp_1,p_2,\dots,p_n 是 11 到 nn 的排列，τ(p1,p2,…,pn)\tau(p_1,p_2,\dots,p_n) 是 p1,p2,…,pnp_1,p_2,\dots,p_n 中的逆序对数。
    • AA 的行列式记作 ∣A∣|A| 或 det⁡A\det A，∣A∣=∣a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann∣|A|=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots& \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{vmatrix}。
  • 性质
    • AA 交换两行得到 BB，则 ∣A∣=−∣B∣|A|=-|B|。
    • 三角矩阵、对角矩阵的行列式等于对角元乘积。
    • ∣a1a2⋯an∣=(−1)n(n−1)2a1a2⋯an\begin{vmatrix} & & & a_1\\ & & a_2 & \\ & \cdots & & \\ a_n & & & \end{vmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_1a_2\cdots a_n
    • 对 ∀i\forall i，第 ii 行元素可以分解为两个数之和，则有 ∣a11⋯a1n⋮⋮a(i−1)1⋯a(i−1)nb1+c1⋯bn+cna(i+1)1⋯a(i+1)n⋮⋮an1⋯ann∣=∣a11⋯a1n⋮⋮a(i−1)1⋯a(i−1)nb1⋯bna(i+1)1⋯a(i+1)n⋮⋮an1⋯ann∣+∣a11⋯a1n⋮⋮a(i−1)1⋯a(i−1)nc1⋯cna(i+1)1⋯a(i+1)n⋮⋮an1⋯ann∣\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\a_{(i-1)1} & \cdots & a_{(i-1)n}\\ b_1+c_1 & \cdots & b_n+c_n\\a_{(i+1)1} & \cdots & a_{(i+1)n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\a_{(i-1)1} & \cdots & a_{(i-1)n}\\ b_1 & \cdots & b_n\\a_{(i+1)1} & \cdots & a_{(i+1)n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\a_{(i-1)1} & \cdots & a_{(i-1)n}\\ c_1 & \cdots & c_n\\a_{(i+1)1} & \cdots & a_{(i+1)n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}。
    • 对 ∀i\forall i，∣a11⋯a1n⋮⋮a(i−1)1⋯a(i−1)nkai1⋯kaina(i+1)1⋯a(i+1)n⋮⋮an1⋯ann∣=k∣a11⋯a1n⋮⋮a(i−1)1⋯a(i−1)nai1⋯aina(i+1)1⋯a(i+1)n⋮⋮an1⋯ann∣\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\a_{(i-1)1} & \cdots & a_{(i-1)n}\\ ka_{i1} & \cdots & ka_{in}\\a_{(i+1)1} & \cdots & a_{(i+1)n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\a_{(i-1)1} & \cdots & a_{(i-1)n}\\ a_{i1} & \cdots & a_{in}\\a_{(i+1)1} & \cdots & a_{(i+1)n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}。
    • 对 ∀i,j,k (i≠j)\forall i,j,k\ (i\ne j)，∣a11⋯a1n⋮⋮a(i−1)1⋯a(i−1)nai1+kaj1⋯ain+kajna(i+1)1⋯a(i+1)n⋮⋮an1⋯ann∣=∣a11⋯a1n⋮⋮a(i−1)1⋯a(i−1)nai1⋯aina(i+1)1⋯a(i+1)n⋮⋮an1⋯ann∣\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\a_{(i-1)1} & \cdots & a_{(i-1)n}\\ a_{i1}+ka_{j1} & \cdots & a_{in}+ka_{jn}\\a_{(i+1)1} & \cdots & a_{(i+1)n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\a_{(i-1)1} & \cdots & a_{(i-1)n}\\ a_{i1} & \cdots & a_{in}\\a_{(i+1)1} & \cdots & a_{(i+1)n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}。
    • ∣AB∣=∣A∣∣B∣|AB|=|A||B|
    • ∣A∣=∣AT∣|A|=|A^{\mathrm T}|
    • ∣A−1∣=1∣A∣|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}
    • 若 ∣A∣=0|A|=0，则 AA 不可逆，称 AA 为奇异矩阵。
    • ∣A00D∣=∣AB0D∣=∣A0CD∣=∣A∣∣D∣\begin{vmatrix} A & 0 \\ 0 & D\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A &B \\ 0 & D\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A &0 \\ C & D\end{vmatrix}=|A||D|
    • ∣0BC0∣=∣ABC0∣=∣0BCD∣=(−1)mn∣B∣∣C∣\begin{vmatrix} 0 & B \\ C & 0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A &B \\ C & 0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 &B \\ C & D\end{vmatrix}=(-1)^{mn}|B||C|，其中 m,nm,n 分别为 B,CB,C 的阶数。
  • 行列式的展开
    • 代数余子式
      • 对于方阵 AA，定义代数余子式 Aij=(−1)i+j∣a11⋯a1(j−1)a1(j+1)⋯a1n⋮⋮⋮⋮a(i−1)1⋯a(i−1)(j−1)a(i−1)(j+1)⋯a(i−1)na(i+1)1⋯a(i+1)(j−1)a(i+1)(j+1)⋯a(i+1)n⋮⋮⋮⋮an1⋯an(j−1)an(j+1)⋯ann∣A_{ij}=(-1)^{i+j}\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1(j-1)} & a_{1(j+1)} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots\\a_{(i-1)1} & \cdots & a_{(i-1)(j-1)} & a_{(i-1)(j+1)} & \cdots & a_{(i-1)n}\\a_{(i+1)1} & \cdots & a_{(i+1)(j-1)} & a_{(i+1)(j+1)} & \cdots & a_{(i+1)n}\\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{n(j-1)} & a_{n(j+1)} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}。
      • 代数余子式就是 (−1)i+j(-1)^{i+j} 乘以 AA 中删去第 ii 行与第 jj 列后剩下元素的行列式。
    • 公式
      • 按行展开：∣A∣=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAin=∑j=1naijAij|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}=\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}
      • 按列展开：∣A∣=a1jA1j+a2jA2j+⋯+anjAnj=∑i=1naijAij|A|=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}
  • 行列式与秩的关系
    • 子式
      • 任取矩阵 AA 的 i1,i2,…,iki_1,i_2,\dots,i_k 行与 j1,j2,…,jkj_1,j_2,\dots,j_k 列的交叉点处元素，按照原来的顺序组成新方阵，该方阵的行列式称为 AA 的一个子式。
      • 若 i1=j1,i2=j2,…,ik=jki_1=j_1,i_2=j_2,\dots,i_k=j_k，则子式称为主子式。
      • 若 i1=j1=1,i2=j2=2,…,ik=jk=ki_1=j_1=1,i_2=j_2=2,\dots,i_k=j_k=k，则子式称为顺序主子式。
      • 注意子式的元素选取不一定是连续的，元素在原矩阵中可以有间隔。
    • 关系
      • 矩阵 AA 的秩为 AA 的所有非零子式的最大阶数。
      • 若 r(A)=rr(A)=r，则必定存在一个子式为 rr 阶行列式不等于 00，所有的 r+1,r+2,…r+1,r+2,\dots 阶子式都等于 00。
      • 这实际上是秩的另一个定义。
  • 伴随矩阵
    • 定义
      • 对于方阵 A=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann]A= \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}，则其伴随矩阵 A∗=[A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋮⋮⋱⋮A1nA2n⋯Ann]=[A11A12⋯A1nA21A22⋯A2n⋮⋮⋱⋮An1An2⋯Ann]TA^*=\begin{bmatrix}A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n}\\A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn}\end{bmatrix}^{\mathrm T}。
      • 注意元素的位置排列。
    • 性质
      • AA∗=A∗A=∣A∣IAA^*=A^*A=|A|I
      • A−1=1∣A∣A∗A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*，A∗=∣A∣A−1A^*=|A|A^{-1}
      • (kA)∗=kn−1A∗(kA)^*=k^{n-1}A^*
      • ∣A∗∣=∣A∣n−1|A^*|=|A|^{n-1}
      • (A∗)−1=(A−1)∗=1∣A∣A(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{1}{|A|}A
      • (A∗)∗=∣A∣n−2A(A^*)^*=|A|^{n-2}A
      • AA 与 A∗A^* 的秩的关系：
        • r(A)=n  ⟹  r(A∗)=nr(A)=n\implies r(A^*)=n
        • r(A)=n−1  ⟹  r(A∗)=1r(A)=n-1\implies r(A^*)=1
        • r(A)≤n−2  ⟹  r(A∗)=0r(A)\le n-2\implies r(A^*)=0
  • 克拉默法则
    • 对于线性方程组 Ax=bA\boldsymbol x=\boldsymbol b，若 ∣A∣≠0|A|\ne 0，则该方程组的解为 x=1∣A∣[D1D2⋮Dn]\boldsymbol x=\frac{1}{|A|}\begin{bmatrix}D_1\\D_2\\\vdots\\D_n\end{bmatrix}，其中 DiD_i 表示把 AA 的第 ii 列替换为 b\boldsymbol b 的矩阵的行列式。
    • 克拉默法则只能用于求解 nn 个 nn 元方程组成的方程组，即 AA 是方阵。
向量空间范数