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数学
常用公式与不等式

常用公式与不等式

  • 因式分解
    • an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})
    • an−1=(a−1)(an−1+an−2⋯+a+1)a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}\cdots+a+1)
  • 不等式
    • ∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣||a|-|b||\le |a\pm b|\le |a|+|b|
  • 三角恒等变换
    • 恒等式
      • sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x+\cos^2x=1
      • tan⁡2x+1=sec⁡2x\tan^2x+1=\sec^2x
      • cot⁡2x+1=csc⁡2x\cot^2x+1=\csc^2x
    • 和差化积与积化和差
      • sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}，sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta))
      • sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}，cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta))
      • cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}，cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β))\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))
      • cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}，sin⁡αsin⁡β=−12(cos⁡(α+β)−cos⁡(α−β))\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta))
      • tan⁡α+tan⁡β=sin⁡(α+β)cos⁡αcos⁡β\tan\alpha+\tan\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}
      • tan⁡α−tan⁡β=sin⁡(α−β)cos⁡αcos⁡β\tan\alpha-\tan\beta=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}
    • 辅助角公式
      • asin⁡x+bcos⁡x=a2+b2sin⁡(x+arctan⁡ba)a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(x+\arctan\frac{b}{a}\right)
  • 不定积分表
    • ∫kdx=kx+C\int k\mathrm dx=kx+C
    • ∫xμdx=1μ+1xμ+1+C (μ≠−1)\int x^\mu\mathrm dx=\frac{1}{\mu+1}x^{\mu+1}+C\ (\mu\ne -1)
    • ∫1xdx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x}\mathrm dx=\ln|x|+C
    • ∫exdx=ex+C\int e^x\mathrm dx=e^x+C
    • ∫axdx=axln⁡a+C (a>0,a≠1)\int a^x\mathrm dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\ (a>0,a\ne 1)
    • ∫ln⁡xdx=xln⁡x−x+C\int \ln x\mathrm dx=x\ln x-x+C
    • ∫log⁡axdx=xln⁡x−xln⁡a+C (a>0,a≠1)\int \log_a x\mathrm dx=\frac{x\ln x-x}{\ln a}+C\ (a>0,a\ne 1)
    • ∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C\int \sin x\mathrm dx=-\cos x+C
    • ∫cos⁡xdx=sin⁡x+C\int \cos x\mathrm dx=\sin x+C
    • ∫tan⁡xdx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C\int \tan x\mathrm dx=-\ln|\cos x|+C
    • ∫cot⁡xdx=ln⁡∣sin⁡x∣+C\int \cot x\mathrm dx=\ln|\sin x|+C
    • ∫sec⁡xdx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C=ln⁡∣sin⁡x+1cos⁡x∣+C\int \sec x\mathrm dx=\ln|\sec x+\tan x|+C=\ln\left|\frac{\sin x+1}{\cos x}\right|+C
    • ∫csc⁡xdx=ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+C=ln⁡∣sin⁡xcos⁡x+1∣+C\int \csc x\mathrm dx=\ln|\csc x-\cot x|+C=\ln\left|\frac{\sin x}{\cos x+1}\right|+C
    • ∫1cos⁡2xdx=∫sec⁡2xdx=tan⁡x+C\int \frac{1}{\cos^2 x}\mathrm dx=\int\sec^2 x\mathrm dx=\tan x+C
    • ∫1sin⁡2xdx=∫csc⁡2xdx=−cot⁡x+C=−1tan⁡x\int \frac{1}{\sin^2 x}\mathrm dx=\int\csc^2 x\mathrm dx=-\cot x+C=-\frac{1}{\tan x}
    • ∫sinh⁡xdx=cosh⁡x+C\int \sinh x\mathrm dx=\cosh x+C
    • ∫cosh⁡xdx=sinh⁡x+C\int\cosh x\mathrm dx=\sinh x+C
    • ∫11+x2dx=arctan⁡x+C=−arccot⁡x+C1\int\frac{1}{1+x^2} \mathrm dx=\arctan x+C=-\operatorname{arccot} x+C_1
    • ∫1x2−1dx=12ln⁡∣x−1x+1∣+C\int \frac{1}{x^2-1}\mathrm dx=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C
    • ∫11−x2dx=−12ln⁡∣x−1x+1∣+C=12ln⁡∣x+1x−1∣+C\int \frac{1}{1-x^2}\mathrm dx=-\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|+C
    • ∫11−x2dx=arcsin⁡x+C=−arccos⁡x+C1\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm dx=\arcsin x+C=-\arccos x+C_1
    • ∫1x2+1dx=arsinh⁡x+C=ln⁡(x+x2+1)+C\int\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm dx=\operatorname{arsinh}x+C=\ln(x+\sqrt{x^2+1})+C
    • ∫1x2−1dx=arcosh⁡x+C=ln⁡(x+x2−1)+C\int\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\mathrm dx=\operatorname{arcosh}x+C=\ln(x+\sqrt{x^2-1})+C