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代数系统

代数系统

  • 二元运算
    • 定义
      • SS 为集合，f:S×S→Sf:S\times S \to S 称为 SS 上的二元运算。
      • SS 中任意两个元素可以运算，且运算结果属于 SS。
    • 性质
      • 交换律：x∘y=y∘xx\circ y=y\circ x
      • 结合律：(x∘y)∘z=x∘(y∘z)(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)
      • 分配律：∘\circ 对 ⋆\star 可分配，左分配律 x∘(y⋆z)=(x∘y)⋆(x∘z)x\circ(y\star z) = (x\circ y) \star (x\circ z)，右分配律 (y⋆z)∘x=(y∘x)⋆(z∘x)(y\star z)\circ x=(y\circ x)\star(z\circ x)。
      • 幂等律：x∘x=xx\circ x=x
      • 吸收律：可交换的 ∘,⋆\circ,\star 具有吸收律，x∘(x⋆y)=x,x⋆(x∘y)=xx \circ (x \star y) = x,x \star (x \circ y)=x
    • 单位元
      • ∘\circ 为 SS 上的二元运算，x∈Sx\in S，若存在 ele_l 或 ere_r，且 el∘x=xe_l\circ x=x 或 x∘er=xx\circ e_r=x 则 ele_l 为左单位元或 ere_r 为右单位元。
      • 若 ee 为左单位元和右单位元，则 ee 为唯一的单位元。
    • 零元
      • ∘\circ 为 SS 上的二元运算，x∈Sx\in S，若存在 θl\theta_l 或 θr\theta_r，且 θl∘x=θl\theta_l\circ x=\theta_l 或 x∘θr=θrx\circ \theta_r=\theta_r 则 θl\theta_l 为左零元或 θr\theta_r 为右零元。
      • 若 θ\theta 为左零元和右零元，则 θ\theta 为零元。
      • SS 中有单位元 ee 和零元 θ\theta，若 ∣S∣>1|S|>1，则 e≠θe \ne \theta。
    • 逆元
      • ∘\circ 为 SS 上的二元运算，x∈Sx\in S，若存在 yly_l 或 yry_r，且 yl∘x=ey_l\circ x=e 或 x∘er=ex\circ e_r=e 则 yly_l 为 xx 的左逆元或 yry_r 为 xx 的右逆元。
      • 若 yy 为 xx 的左逆元和右单位元，则 yy 为 xx 的逆元，并且唯一，记作 y=x−1y=x^{-1}，xx 可逆。
      • 左逆元和右逆元不一定唯一。
  • 代数系统
    • 定义
      • 已知非空集合 SS，kk 个二元或一元运算 fif_i，则 ⟨S,f1,…,fk⟩\langle S,f_1,\dots,f_k \rangle 为代数系统，简称代数。
      • 有时强调代数系统包含某些特定的元素，将其称为代数常数，代数记作 ⟨S,f1,…,fk,x1,x2,… ⟩\langle S,f_1,\dots,f_k,x_1,x_2,\dots \rangle。
    • 子代数
      • 已知 V=⟨S,f1,…,fk⟩V=\langle S,f_1,\dots,f_k \rangle，B⊆SB \subseteq S，若 BB 对 fif_i 都封闭且包含 SS 中所有代数常数，则 ⟨B,f1,…,fk⟩\langle B,f_1,\dots,f_k \rangle 为 VV 的子代数。
      • VV 是 VV 的最大子代数。
      • 若 BB 仅包含 VV 中的代数常数且封闭，则 BB 构成的子代数为最小子代数。
      • VV 的最大和最小子代数称为平凡子代数。
      • 若 B≠SB\ne S，则 BB 构成的子代数为 VV 的真子代数。
    • 积代数
      • 已知 V1=⟨A,∘⟩,V2=⟨B,⋆⟩V_1=\langle A,\circ \rangle,V_2=\langle B,\star \rangle，定义 ⟨a1,b1⟩⋅⟨a2,b2⟩=⟨a1∘a2,b1⋆b2⟩\langle a_1,b_1\rangle \cdot \langle a_2,b_2\rangle = \langle a_1 \circ a_2, b_1 \star b_2 \rangle。
      • V=⟨A×B,⋅⟩V=\langle A\times B,\cdot \rangle 为 V1,V2V_1,V_2 的积代数，记作 V=V1×V2V=V_1\times V_2，V1,V2V_1,V_2 为 VV 的因子代数。
      • 如果 V1,V2V_1,V_2 是可交换 / 可结合 / 幂等的，则 VV 是可交换 / 可结合 / 幂等的。
      • 如果 e1,e2e_1,e_2 / θ1,θ2\theta_1,\theta_2 分别是 V1,V2V_1,V_2 的单位元 / 零元，则 ⟨e1,e2⟩\langle e_1,e_2 \rangle / ⟨θ1,θ2⟩\langle \theta_1,\theta_2 \rangle 是 V1×V2V_1\times V_2 的单位元 / 零元。
      • 如果 x,yx,y 是 V1,V2V_1,V_2 的可逆元素，则 ⟨x,y⟩\langle x,y\rangle 是 V1×V2V_1\times V_2 的可逆元素，⟨x,y⟩−1=⟨x−1,y−1⟩\langle x,y\rangle^{-1}=\langle x^{-1},y^{-1}\rangle。
    • 同态和同构
      • 已知 ⟨A,∘⟩,⟨B,⋆⟩\langle A,\circ \rangle,\langle B,\star \rangle，如果存在 f:A→Bf:A\to B 满足 f(a∘b)=f(a)⋆f(b)f(a \circ b) = f(a) \star f(b)，则 A,BA,B 同态。
      • 同态的分类：
        • 如果 ff 是单射，则 ff 称为单同态。
        • 如果 ff 是满射，则 ff 称为满同态， V2V_2 是 V1V_1 的同态像，记作 A∼BA\sim B。
        • 如果 ff 是双射，则 ff 称为同构，记作 A≅BA \cong B。
        • 如果 A=BA=B，则 ff 称为自同态。
      • 同态可以保持运算律和元素性质
        • 如果 ∘\circ 满足某运算律，则 f(V1)f(V_1) 中 ⋆\star 也满足（消去律除外）。
        • 如果 aa 是某特殊元素，则 f(V1)f(V_1) 中 f(a)f(a) 也是同种特殊元素。
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