全微分

• 定义
  • 设二元函数 $z=f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 的某邻域内有定义，当 $x,y$ 有增量 $\Delta x,\Delta y$ 时，函数 $f(x,y)$ 的增量称为全增量： $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$
  • 如果 $z=f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处的全增量可以表示为 $\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)\ (\rho=\sqrt{x^2+y^2})$ 其中 $A,B$ 不依赖 $\Delta x,\Delta y$，则 $z=f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 可微，定义 $z=f(x,y)$ 的全微分为 $\mathrm dz=A\Delta x+B\Delta y=A\mathrm dx+B\mathrm dy$
  • 多元函数有类似定义。
• 定理
  • 可微与连续性关系
    • 如果 $z=f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 可微，则 $z=f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 连续。
    • 可微 $\implies$ 连续，连续 $\nRightarrow$ 可微。
  • 可微与偏导数关系
    • 如果 $z=f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 可微，则 $z=f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 的偏导数都存在，且 $\frac{\partial z}{\partial x}=A,\frac{\partial z}{\partial y}=B$
    • $\mathrm dz$ 表示为 $\mathrm dz=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm dx+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm dy$
    • 可微 $\implies$ 偏导数，偏导数 $\nRightarrow$ 可微。
  • 可微与偏导数连续关系
    • 如果 $z=f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 的偏导数都连续，则 $z=f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 可微。
    • 可微 $\implies$ 偏导数连续，偏导数连续 $\nRightarrow$ 可微。
• 应用
  • 近似计算
    • 参考一元函数微分的近似计算。
    • $f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+f_x'(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0,y_0)(y-y_0)$
  • 误差估计
    • 参考一元函数微分的误差估计。
    • 对于 $z=f(x,y)$，$x,y,z$ 误差限为 $\varepsilon(x),\varepsilon(y),\varepsilon(z)$，则 $\varepsilon(z_0)=|f_x'(x_0,y_0)|\varepsilon(x_0)+|f_y'(x_0,y_0)|\varepsilon(y_0)$
    • $x,y,z$ 相对误差限为 $\varepsilon_r(x),\varepsilon_r(y),\varepsilon_r(z)$，则 $\varepsilon_r(z_0)=\left|\frac{x_0 f_x'(x_0,y_0)}{f(x_0,y_0)}\right|\varepsilon_r(x_0)+\left|\frac{y_0 f_y'(x_0,y_0)}{f(x_0,y_0)}\right|\varepsilon_r(y_0)$