幂级数

• 幂级数
  • 定义
    • 级数 $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n$ 被称为幂级数。
    • 一般情况下研究 $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n x^n$。
  • 收敛域
    • 阿贝尔定理
      • 已知幂级数 $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n x^n$：
        • 如果在 $x_0\ne 0$ 处收敛，则 $|x|<x_0$ 时都绝对收敛。
        • 如果在 $x_0\ne 0$ 处发散，则 $|x|>x_0$ 时都发散。
    • 收敛半径
      • 如果幂级数 $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n x^n$ 在 $|x|<R$ 时绝对收敛，在 $|x|>R$ 时发散，则 $R$ 是幂级数的收敛半径。
      • 对于不缺项的幂级数 $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n x^n$，$\rho=\lim\limits_{n\to+\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ 或 $\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$，则
        • 当 $\rho=0$ 时，$R=+\infty$。
        • 当 $\rho=+\infty$ 时， $R=0$。
        • 否则 $R=\dfrac{1}{\rho}$ 。
      • 求出收敛半径后，还需要判断收敛半径处的情况。
  • 和函数
    • 连续性
      • $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n x^n$ 的和函数 $s(x)$ 在其收敛域上连续。
    • 可积性
      • $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n x^n$ 的和函数 $s(x)$ 在其收敛域上可积。
      • 积分等于每一项的积分之和，收敛半径不变。
      • 对于收敛域的边界，敛散性需要特殊考虑。
    • 可导性
      • $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n x^n$ 的和函数 $s(x)$ 在其收敛域上可导。
      • 积分等于每一项的导数之和，收敛半径不变。
      • 对于收敛域的边界，敛散性需要特殊考虑。
• 泰勒级数
  • 定义
    • 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域内有任意阶导数，则 $f(x)$ 对应的泰勒级数为 $f(x)\sim\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
    • 只有当泰勒级数收敛到 $f(x)$ 时，$\sim$ 才可以改为 $=$，即 $f(x)$ 可以展开为泰勒级数。
  • 性质
    • $f(x)$ 展开成 $x-x_0$ 的幂级数，则其一定是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的唯一的泰勒级数。
    • 在 $U(x_0)$ 内，$f(x)$ 的泰勒级数收敛到 $f(x)$ $\iff$ $\lim\limits_{n\to+\infty}R_n(x)=0$。
    • 在 $U(x_0)$ 内，若 $f(x)$ 的任意阶导数有界，则 $f(x)$ 的泰勒级数收敛到 $f(x)$。
  • 计算
    • 类似泰勒公式。