重积分

• 二重积分
  • 定义
    • 设多元函数 $f(x,y)$ 在平面有界区域 $D$ 上有定义，将 $D$ 划分为 $\Delta \sigma_i$，设 $\lambda$ 为 $\Delta\sigma_i$ 的直径的最大值，任取 $(\xi_i,\eta_i)\in \Delta\sigma_i$。
    • 如果无论 $D$ 如何划分，以及 $(\xi_i,\eta_i)$ 如何选取，以下极限均存在，则 $f(x,y)$ 在 $D$ 上可积。 $\lim_{\lambda\to 0} \sum_{\Delta\sigma_i\in D} f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$
    • 此时把以上极限记作 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的二重积分，即 $\iint_D f(x,y)\mathrm d\sigma$
  • 存在性
    • 如果 $f(x,y)$ 在平面有界区域 $D$ 上连续，则 $f(x,y)$ 在 $D$ 上可积。
    • 如果 $f(x,y)$ 在平面有界区域 $D$ 上的有限个分片内分别连续，则 $f(x,y)$ 在 $D$ 上可积。
  • 几何意义
    • $f(x,y)$ 在 $D$ 上的重积分等于 $D$ 为底，$z=f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体的体积。如果曲面在 $D$ 下，则记负数。
  • 性质
    • 线性性质： $\iint_D \left(C_1f_1(x,y)+C_2f_2(x,y)\right)\mathrm d\sigma=C_1\iint_D f_1(x,y)\mathrm d\sigma+C_2\iint_D f_2(x,y)\mathrm d\sigma$
    • 积分区域可加： $\iint_{D_1\cup D_2}f(x,y)\mathrm d\sigma=\iint_{D_1}f(x,y)\mathrm d\sigma+\iint_{D_2}f(x,y)\mathrm d\sigma\ (D_1\cap D_2=\varnothing)$
    • 比较性质： $\iint_D f(x,y)\mathrm d\sigma\ge \iint_D g(x,y)\mathrm d\sigma\ (f(x,y)\ge g(x,y))$
    • 绝对值性质： $\left|\iint_D f(x,y)\mathrm d\sigma\right| \le \iint_D \left|f(x,y)\right|\mathrm d\sigma$
    • 估值定理： $\iint_D f(x,y)\mathrm d\sigma\in\left[A\min_D\{f(x,y)\},A\max_D\{f(x,y)\}\right]$
    • 中值定理： $\iint_D f(x,y)\mathrm d\sigma=f(\xi,\eta)A\ ((\xi,\eta)\in D)$
    • 对称性质：区域对称时，如果关于某自变量为奇函数，则重积分为 $0$，如果为偶函数，则重积分为一半区域的两倍重积分。
• 计算
  • X 型
    • 已知 $D: a\le x\le b,\varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)$，则
    • $\iint_D f(x,y)\mathrm d\sigma=\int_a^b\mathrm dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\mathrm dy$
  • Y 型
    • 已知 $D: a\le y\le b,\varphi_1(y)\le x\le\varphi_2(y)$，则
    • $\iint_D f(x,y)\mathrm d\sigma=\int_a^b\mathrm dy\int_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)} f(x,y)\mathrm dx$
  • 极坐标系
    • 已知 $D: a\le\theta\le b,\varphi_1(\theta)\le\rho\le\varphi_2(\theta)$，则有以下对应关系： $x=\rho\cos\theta,y=\rho\sin\theta,\mathrm dx\mathrm dy=\rho\mathrm d\rho\mathrm d\theta$
    • $\iint_D f(x,y)\mathrm d\sigma=\int_a^b\mathrm d\theta\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)} f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho\mathrm d\rho$
• 三重积分
  • 定义
    • 设多元函数 $f(x,y,z)$ 在空间有界区域 $\Omega$ 上有定义，将 $\Omega$ 划分为 $\Delta v_i$，设 $\lambda$ 为 $\Delta v_i$ 的直径的最大值，任取 $(\xi_i,\eta_i)\in \Delta v_i$。
    • 如果无论 $\Omega$ 如何划分，以及 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$ 如何选取，以下极限均存在，则 $f(x,y)$ 在 $\Omega$ 上可积。 $\lim_{\lambda\to 0} \sum_{\Delta v_i\in \Omega} f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta v_i$
    • 此时把以上极限记作 $f(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上的三重积分，即 $\iiint_\Omega f(x,y,z)\mathrm dv$
  • 意义
    • $f(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上的重积分等于空间立体 $\Omega$ 以 $f(x,y,z)$ 为密度函数的质量。
    • $\iiint_\Omega\mathrm dv$ 表示 $\Omega$ 的体积。
  • 计算
    • 投影法
      • 下边界曲面为 $S_1:z=z_1(x,y)$，上边界曲面为 $S_2:z=z_2(x,y)$，将 $\Omega$ 投影到 $xOy$ 平面上的闭区域 $D$。
      • $\iiint_\Omega f(x,y,z)\mathrm dv=\iint_D \mathrm d\sigma\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)\mathrm dz$
    • 平行截面法
      • 设 $\Omega$ 中 $z\in [a,b]$，$D_z$ 为 $\Omega$ 在 $z$ 处的截平面。
      • $\iiint_\Omega f(x,y,z)\mathrm dv=\int_a^b \mathrm dz\int_{D_z} f(x,y,z)\mathrm d\sigma$
    • 柱坐标系
      • 令 $x=\rho\cos\theta,y=\rho\sin\theta\ (\theta\in[0,2\pi])$，则 $\iiint_\Omega f(x,y,z)\mathrm dv=\int_\alpha^\beta\mathrm d\theta\int_{\rho_1(\theta)}^{\rho_2(\theta)}\rho\mathrm d\rho\int_{z_1(\rho,\theta)}^{z_2(\rho,\theta)}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,z)\mathrm dz$
      • 其中体积元素 $\mathrm dv=\rho\mathrm d\rho\mathrm d\theta\mathrm dz$。
    • 球坐标系
      • 令 $x=r\sin\varphi\cos\theta,y=r\sin\varphi\sin\theta,z=r\cos\varphi\ (\varphi\in[0,\pi],\varphi\in[0,2\pi])$，则 $\iiint_\Omega f(x,y,z)\mathrm dv=\int_\alpha^\beta\mathrm d\theta\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}\sin\varphi\mathrm d\varphi\int_{r_1(\theta,\varphi)}^{r_2(\theta,\varphi)}f(r\sin\varphi\cos\theta,r\sin\varphi\sin\theta,r\cos\varphi)r^2\mathrm dr$
      • 其中体积元素 $\mathrm dv=r^2\sin\varphi\mathrm dr\mathrm d\varphi\mathrm d\theta$。
      • 对于类似椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 围成的区域，可以利用广义球坐标系： $\left\{\begin{matrix} x= ar\sin\varphi\cos\theta\\ y= br\sin\varphi\sin\theta\\ z= cr\cos\varphi\\\end{matrix}\right. \implies \mathrm dv=abcr^2\sin\varphi\mathrm dr\mathrm d\varphi\mathrm d\theta$
  • 应用
    • 空间曲面的面积
      • 设曲面 $S$ 的方程为 $z=f(x,y)$，在 $xOy$ 平面上的投影为 $D_{xy}$。
      • 设 $\mathrm dS$ 是 $S$ 上的面积微元，$\mathrm d\sigma$ 是 $\mathrm dS$ 在 $xOy$ 平面上的投影，$\gamma$ 为两者夹角，则 $\mathrm dS=\frac{\mathrm d\sigma}{\cos\gamma}=\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\mathrm d\sigma$
      • $S$ 的面积为 $S=\iint_{D_{xy}} \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\mathrm dx\mathrm dy$
      • 同理可以对其他平面投影计算，结果不变。
    • 质心
      • 参考质心。
    • 转动惯量
      • 参考转动惯量。
    • 引力
      • 设空间立体 $V$ 和 $V$ 外的一个在 $(a,b,c)$ 的质点 $m$，$V$ 的密度为 $\rho(x,y,z)$。
      • 设 $\boldsymbol r(x,y,z)=(x-a,y-b,z-c)$
      • 则 $V$ 和 $m$ 之间的引力为 $\boldsymbol F=Gm\iiint_V \frac{\boldsymbol r(x,y,z)\rho(x,y,z)}{\|\boldsymbol r(x,y,z)\|^3}\mathrm dv$
• 换元法
  • 设 $f(x,y)$ 在 $xOy$ 上的闭区域 $D$ 连续，$x=x(u,v),y=y(u,v)$，$D$ 对应 $uOv$ 上的闭区域 $D'$。
  • 若 $x(u,v),y(u,v)$ 在 $D'$ 上有一阶连续偏导数，在 $D'$ 上雅可比行列式 $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\ne 0$，$D$ 与 $D'$上的点一一对应，则 $\iint_D f(x,y)\mathrm dx\mathrm dy=\iint_{D'} f(x(u,v),y(u,v))\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\mathrm du\mathrm dv$
• 含参变量积分
  • 定义
  • 性质
    • 连续性：如果 $f(x,y)$ 在 $[a,b]\times[c,d]$ 上连续，则 $F(y)=\int_a^b f(x,y)\mathrm dx$ 在 $[c,d]$ 上连续。
    • 上下限含参的连续性：如果 $f(x,y),f'_y(x,y)$ 在 $[a,b]\times[c,d]$ 上连续，此区域内 $\varphi_1(y),\varphi_2(y)\in[a,b]$，则 $F(y)=\int_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)} f(x,y)\mathrm dx$ 在 $[c,d]$ 上连续。
    • 积分次序交换性：如果 $f(x,y)$ 在 $[a,b]\times[c,d]$ 上连续，则 $\int_a^b\mathrm dx \int_c^d f(x,y)\mathrm dy=\int_c^d\mathrm dy \int_a^b f(x,y)\mathrm dx$
    • 导数：如果 $f(x,y),f_y'(x,y)$ 在 $[a,b]\times[c,d]$ 上连续，则 $F(y)$ 在 $[c,d]$ 上有连续导数，且 $F'(y)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dy}\int_a^b f(x,y)\mathrm dx=\int_a^b f'_y(x,y)\mathrm dx$
    • 上下限含参的导数：如果 $f(x,y),f'_y(x,y)$ 在 $[a,b]\times[c,d]$ 上连续，此区域内 $\varphi_1(y),\varphi_2(y)\in[a,b]$，则 $F(y)$ 在 $[c,d]$ 上有连续导数： $F'(y)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dy}\int_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)} f(x,y)\mathrm dx=\int_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)} f'_y(x,y)\mathrm dx+f(\varphi_2(y),y)\varphi'_2(y)-f(\varphi_1(y),y)\varphi'_1(y)$