高阶微分方程

• 可降阶高阶微分方程
  • $y^{(n)}=f(x)$
    • 两边同时加积分号，求不定积分，左边的阶数降低。
    • 两边连续求不定积分 $n$ 次即可得到通解。
  • $y^{(n)}=f\left(x,y^{(n-1)}\right)$
    • 因为 $y^{(n)}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}y^{(n-1)}$，所以可以把 $y^{(n-1)}$ 看成一个新的函数。
    • 令 $p(x)=y^{(n-1)}$，则 $\frac{\mathrm dp}{\mathrm dx}=f(x,p)$。
  • $y''=f(y,y')$
    • 该方程中没有出现 $x$，则可以把 $y$ 看成自变量，则 $y'$ 和 $y''$ 与 $y$ 之间也存在函数关系。
    • 令 $p(y)=y'$，则 $y''=p\frac{\mathrm dp}{\mathrm dy}$
• 线性微分方程
  • 部分高阶的线性微分方程也可以求解，详见线性微分方程。