定积分

• 定义
  • 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有定义，用分点 $a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b$ 将 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间，第 $i$ 个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 的长度记为 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}\ (i=1,2,\dots,n)$，任取 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$，做乘积 $f(\xi_i)\Delta x_i\ (i=1,2,\dots,n)$，将这些乘积相加得到和式 $\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$，令 $\lambda=\max\limits_{1\le i\le n}\{\Delta x_i\}$，如果不论小区间怎样划分以及点 $\xi_i$ 怎样取，和式 $\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$ 的极限都存在且为同一个数，则称函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，而此极限值称为函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分，记作 $\int_a^bf(x)\mathrm dx$，即 $\int_a^bf(x)\mathrm dx=\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$。
  • 其中 $f(x)$ 称为被积函数，$x$ 称为积分变量，$f(x)\mathrm dx$ 称为被积分式，$[a,b]$ 称为积分区间，$a,b$ 分别称为积分下限和积分上限，$\int$ 为积分符号。
  • 规定当 $a>b$ 时，$\int_a^b f(x)\mathrm dx=-\int_b^a f(x)\mathrm dx$。由此可以得出 $\int_a^a f(x)\mathrm dx=0$。
• 性质
  • 定积分存在定理：
    • 函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的必要条件是在区间 $[a,b]$ 上有界。
    • 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。
    • 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。
  • 定积分不存在的定义法判定：如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上按照两个不同划分区间方法、不同取点方法计算得到的和式的极限不同，则 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上不可积。
  • 线性性质：$\int_a^b\left(C_1f(x)\mathrm dx+C_2g(x)\mathrm dx\right)=C_1\int_a^b f(x)\mathrm dx+C_2\int_a^b g(x)\mathrm dx$。
  • 积分区间可加性：$\forall a,b,c\in \mathrm R,\int_a^b f(x)\mathrm dx=\int_a^c f(x)\mathrm dx+\int_c^b f(x)\mathrm dx$。
  • 比较性质：
    • 如果在 $[a,b]$ 上，$f(x)\ge g(x)$，则 $\int_a^b f(x)\mathrm dx\ge\int_a^b g(x)\mathrm dx$。
    • 在以上性质基础上，如果 $f(x),g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，且至少存在一点 $x_0$ 使得 $f(x_0)>g(x_0)$，则 $\int_a^b f(x)\mathrm dx>\int_a^b g(x)\mathrm dx$。
  • 绝对值性质：如果函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $|f(x)|$ 也在 $[a,b]$ 上可积，并且 $\left|\int_a^b f(x)\mathrm dx\right|\le\int_a^b |f(x)|\mathrm dx$。
  • 估值定理：如果在 $[a,b]$ 上 $m\le f(x)\le M$，则 $m(b-a)\le\int_a^b f(x)\mathrm dx\le M(b-a)$。
  • 积分中值定理：如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则在 $[a,b]$ 上至少存在一点 $\xi$，使得 $\int_a^b f(x)\mathrm dx=f(\xi)(b-a)$。
• 微积分基本定理
  • 变上限积分
    • 定义
      • 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $\forall x\in [a,b]$，$\Phi(x)=\int_{a}^x f(t)\mathrm dt$ 存在，$\Phi(x)$ 就是 $f(x)$ 的变上限积分。
      • 变下限的积分和上下限均改变的积分都可以转化为变上限积分。
      • 如果出现 $\int_{a}^x f(x)\mathrm dx$，那么积分上限的 $x$ 与被积分式中的 $x$ 应视为不同的量，尽管使用重复的变量名是不好的。
    • 性质
      • 微积分第一基本定理：如果 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\Phi(x)=\int_a^x f(t)\mathrm dt$ 在 $[a,b]$ 上可导，$\Phi'(x)=f(x)$。如果 $x$ 为区间端点，则改为单侧导数。
      • 如果 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\Phi(x)=\int_a^x f(t)\mathrm dt$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数。
      • $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)\mathrm dt=f(g(x))g'(x)-f(h(x))h'(x)$
  • 牛顿-莱布尼茨公式 / 微积分第二基本定理
    • 如果 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的任意一个原函数，则 $\int_a^b f(x)\mathrm dx=F(b)-F(a)=F(x)\big|_a^b$。
    • 这个公式被称为牛顿-莱布尼茨公式，或微积分基本公式。
• 特殊求解方法
  • 换元法
    • 如果 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$x=g(t)$ 在 $[a,b]$ 上的导数连续，$g(\alpha)=a,g(\beta)=b$，则 $\int_a^b f(x)\mathrm dx=\int_\alpha^\beta f(g(t))g'(t)\mathrm dt$。
    • 换元公式也可以逆向使用。
  • 分部积分法
    • 设 $u(x),v(x)$ 在 $[a,b]$ 上有连续导数，则 $\int_a^b u(x)v'(x)\mathrm dx=u(x)v(x)\big|_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\mathrm dx$。
  • 常用结论
    • $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上连续：
      • 若 $f(x)$ 是奇函数，则 $\int_{-a}^a f(x)\mathrm dx=0$。若 $f(x)$ 是偶函数，则 $\int_{-a}^a f(x)\mathrm dx=2\int_0^a f(x)\mathrm dx$。
        • 寻找函数的对称轴或对称中心，换元转化为奇偶函数。
      • 若 $f(x)$ 的周期为 $T$，则 $\int_a^{a+T}f(x)\mathrm dx=\int_0^T f(x)\mathrm dx$。
    • $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续：
      • $\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)\mathrm dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)\mathrm dx$
      • $\int_0^{\pi}xf(\sin x)\mathrm dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}f(\sin x)\mathrm dx$
    • $f(x),g(x)$ 连续，$\int_a^b f(t-x)g(x)\mathrm dx=\int_a^b f(x)g(t-x)\mathrm dx$。
      • $\int_0^1 x(1-x)^{17}\mathrm dx=\int_0^1 x^{17}(1-x)\mathrm dx$
    • $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x\mathrm dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x\mathrm dx=\left\{\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\cdot\frac{(n-1)!!}{n!!}, & n=2k\\ \frac{(n-1)!!}{n!!}, & n=2k+1\\\end{matrix}\right.$
• 反常积分
  • 无穷积分
    • 定义
      • 无穷积分分为三种：
        • 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上连续，定义 $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm dx=\lim\limits_{b\to +\infty}\int_a^b f(x)\mathrm dx$。
        • 设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,b]$ 上连续，定义 $\int_{-\infty}^b f(x)\mathrm dx=\lim\limits_{a\to -\infty}\int_a^b f(x)\mathrm dx$。
        • 设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，定义 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\mathrm dx=\int_{-\infty}^c f(x)\mathrm dx+\int_c^{+\infty} f(x)\mathrm dx\ (c\in \mathrm R)$。
      • 若以上极限存在，则无穷积分存在或收敛。
      • 注意 $(-\infty,+\infty)$ 上的无穷积分不等于 $\lim\limits_{t\to +\infty}\int_{-t}^t f(x)\mathrm dx$，收敛需要拆分出的两个部分都收敛。
    • 性质
      • $\int_a^{+\infty}x^{-p}\mathrm dx\ (a>0,p>0)$ 的敛散性：
        • $p>1$ 时收敛；
        • $0<p\le 1$ 时发散。
  • 瑕积分
    • 定义
      • 若 $\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\infty$ 或 $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=\infty$，则 $x_0$ 是 $f(x)$ 的瑕点。在包含瑕点的区间上的积分就是瑕积分。
      • 瑕积分分为三种：
        • 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b)$ 上连续，$x=b$ 是瑕点，定义 $\int_a^b f(x)\mathrm dx=\lim\limits_{t\to b^-}\int_a^t f(x)\mathrm dx$。
        • 设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b]$ 上连续，$x=a$ 是瑕点，定义 $\int_a^b f(x)\mathrm dx=\lim\limits_{t\to a^+}\int_t^b f(x)\mathrm dx$。
        • 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，$x=c\in[a,b]$ 是瑕点，定义 $\int_a^b f(x)\mathrm dx=\int_a^c f(x)\mathrm dx+\int_c^b f(x)\mathrm dx$。
      • 若以上极限存在，则瑕积分存在或收敛。
      • 瑕点在区间内时，收敛需要拆分的区间的瑕积分都收敛。
    • 性质
      • $\int_0^b x^{-p}\mathrm dx\ (b>0,p>0)$ 的敛散性：
        • $0< p<1$ 时收敛；
        • $p\ge 1$ 时发散。
  • 性质
    • 无穷积分、瑕积分都可以像正常的定积分一样使用换元法、分部积分法。
    • 无穷积分、瑕积分都可以先应用牛顿-莱布尼茨公式再求极限：
      • $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm dx=F(x)\big|_a^{+\infty}=\lim\limits_{b\to+\infty} F(b)-F(a)$
      • 其他类似。
    • 无穷积分、瑕积分敛散性判断（以积分上限为 $+\infty$ 的无穷积分为例）：
      • 设 $f(x),g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，$0\le f(x)\le g(x)$，则：
        • 若 $\int_a^{+\infty} g(x)\mathrm dx$ 收敛，则 $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm dx$ 收敛；
        • 若 $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm dx$ 发散，则 $\int_a^{+\infty} g(x)\mathrm dx$ 发散。
      • 设 $f(x),g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，$f(x)\ge 0,g(x)>0$，且 $\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$ 为常数或 $+\infty$，则：
        • 若 $\lambda=0$，$\int_a^{+\infty} g(x)\mathrm dx$ 收敛时 $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm dx$ 收敛；
        • 若 $0<\lambda<+\infty$，$\int_a^{+\infty} g(x)\mathrm dx$ 与 $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm dx$ 同时收敛或发散；
        • 若 $\lambda=+\infty$，$\int_a^{+\infty} g(x)\mathrm dx$ 发散时 $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm dx$ 发散。
      • 设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，若 $\int_a^{+\infty} |f(x)|\mathrm dx$ 收敛，则 $\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm dx$ 收敛。
• 应用
  • 面积
    • 曲线与坐标轴包围形成的曲边梯形的面积：
      • 平面直角坐标系 $y=f(x)$：$\int_a^b |f(x)|\mathrm dx$ 或 $\int_a^b |f(y)|\mathrm dy$
      • 参数方程 $\left\{\begin{matrix} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t) \end{matrix}\right.$：$\int_a^b |y|\mathrm dx=\int_\alpha^\beta |\psi(t)\varphi'(t)|\mathrm dt$
    • 曲线与极点包围形成的曲边扇形的面积：$\int_\alpha^\beta \frac{1}{2}(\rho(\theta))^2\mathrm d\theta$
  • 体积
    • 沿一个方向，平行截面面积为 $S(x)$：$V=\int_a^b S(x)\mathrm dx$
    • 旋转体体积求解：
      • 薄片法：沿旋转轴叠加垂直于轴的薄片
        • 旋转轴为 $x$ 轴时：$V=\int_a^b \pi y^2\mathrm dx$
        • 旋转轴为 $y$ 轴时：$V=\int_a^b \pi x^2\mathrm dy$
      • 柱壳法：叠加旋转轴相同、半径不断增加的圆柱壳
        • 旋转轴为 $y$ 轴时：$V=\int_a^b 2\pi xy\mathrm dx$
        • 旋转轴为 $x$ 轴时：$V=\int_a^b 2\pi yx\mathrm dy$
  • 弧长
    • 对弧微分积分，$s=\int \mathrm ds$。