数据表示与计算

• 数据表示
  • 定点数
    • 分为原码、反码、补码、移码。
    • 原码、反码、补码参考《计算机系统》的数据表示。
    • 移码为把所有原始值统一加上一个偏移量，存储的是偏移后的值。常用于浮点数的阶码表示。
    • 这里的定点数既包括整数，也包括小数。
      • 表示整数的定点数不写小数点。
      • 表示小数的定点数中，小数点固定在最左边的数字后面。
  • 浮点数
    • 由尾数和阶码组成，尾数一般使用原码或补码，需要带有符号位，阶码一般使用补码或移码。
    • IEEE 754 标准参考《计算机系统》的数据表示。
    • 本课程中的浮点数一般不使用 IEEE 754，而使用尾数为补码、阶码为补码的表示。
  • 自定义数据表示
    • 带标志符数据：数据不仅有原来的值，还有额外标志位表示类型信息、功能信息等。
    • 带数据描述符数据：描述符不含数据，包含地址、长度等数据结构相关信息。
    • 寄存器堆栈：一组专用的寄存器表示堆栈，相邻栈帧之间数据可以推移。栈顶地址固定，栈底随着操作变化。
    • 存储器堆栈：用主存区域存储数据，使用栈顶指针指向栈顶。栈底地址固定，栈顶随着操作变化。
• 数据计算
  • 先行进位加法器
    • 加法计算公式为 $S_i = A_i \oplus B_i \oplus C_{i - 1}$，$C_i = A_i B_i + (A_i \oplus B_i) C_{i - 1}$。
    • 定义进位产生函数为 $G_i = A_i B_i$，进位传递函数为 $P_i = A_i \oplus B_i$，则 $C_i = G_i + P_i C_{i - 1}$。
    • 单级先行进位加法：展开 $C_i = G_i + P_i C_{i - 1} = G_i + P_i G_{i - 1} + P_i P_{i - 1} C_{i - 2} = \cdots$。
      • 理论上可以完全展开到 $C_0$，延迟为 $2ty$，但是逻辑门数量爆炸。
      • 一般仅部分展开。
    • 多级先行进位加法：
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  • 溢出判断
    • 单符号位：
      • 运算前两数均为正数，运算后结果为负数，则发生正溢。
      • 运算前两数均为负数，运算后结果为正数，则发生负溢。
    • 双符号位/变形补码：两个符号位，正常的数两者相等。高位的那个符号位代表真正的符号，低位的符号位若与高位不同，则溢出。
    • 进位位：
      • 符号位不产生进位、最高有效位产生进位，则发生正溢。
      • 符号位产生进位、最高有效位不产生进位，则发生负溢。
  • Booth 乘法
    • 给定两个小数点后 $n$ 位的定点数 $X, Y$，计算得到小数点后 $2n$ 的定点数。
    • 使用的寄存器：
      • $A$：初始化为 $0$，最终会存放乘法的高 $n$ 位。
      • $B$：存放 $X$，不变。
      • $C$：初始化为 $Y$，最终会存放乘法的低 $n$ 位。
    • 计算过程：
      • $A$ 和 $C$ 排在一起，$A$ 在高，$C$ 在低。$C$ 最后额外补一个 $0$。
      • 根据连接的数字串最后两位（$C$ 的最后一位和额外一位）确定操作：
        • $00$ 或 $11$：$A$ 不变。
        • $01$：$A$ 加上 $X$。
        • $10$：$A$ 加上 $X$ 的相反数，即按位取反后加 $1$。
      • $A$、$C$ 和额外一位整体右移一位。
      • 循环进行操作，相加 $n + 1$ 次，移位 $n$ 次。
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  • 补码加减交替除法
    • 给定两个小数点后 $n$ 位的定点数 $X, Y$，计算得到两个小数点后 $n$ 的定点数商 $Q$ 和余数 $r$。
    • 使用的寄存器：
      • $A$：初始化为 $X$，存放初始的被除数、部分余数、最后的余数。
      • $B$：存放 $Y$，不变。
      • $C$：初始化为 $0$，最后存放商。
    • 计算过程：
      • 根据当前部分余数的符号，选择加除数或加除数的相反数：
        • 需要满足部分余数与选择的除数的符号相反。
      • 相加后得到新的部分余数，与除数比较符号，确定上商：
        • 若新部分余数与除数符号相同，商的最低位写 $1$。
        • 若新部分余数与除数符号不同，商的最低位写 $0$。
      • $A$、$C$ 整体左移一位。
      • 循环执行，重复 $n + 1$ 次加法，重复 $n$ 次移位。按照上面的规则上商 $n$ 次，最后一次上商固定为 $1$。
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  • 浮点数加减
    • 对齐阶码，小阶扩大为大阶。
    • 对阶后尾数加减。
    • 规格化结果：
      • 两个符号位相同，符号与最高有效位不同 $00.1xx$、$11.0xx$：已经规格化。
      • 两个符号位相同，符号与最高有效位相同同 $00.0xx$、$11.1xx$：未规格化，需要左移。
      • 两个符号位不同 $01.xxx$、$10.xxx$：看似溢出，其实是未规格化，需要右移。
    • 阶码溢出：
      • 上溢：真正的溢出。
      • 下溢：视为 $0$。
  • 浮点数乘法
    • 阶码相加，尾数相乘。
    • 特别需要考虑阶码用移码表示的情况，需要额外减去一个偏置值。
    • 当 $\dfrac{1}{4} < |M_A \times M_B| < \dfrac{1}{2}$ 时，需要左移规格化一次。
  • 浮点数除法
    • 调整尾数，确保 $|M_A| < |M_B|$，不满足时只需右移 $M_A$、增加 $E_A$ 一次完成。
    • 阶码相减，尾数相除。
    • 规格化。
• ALU 设计
  • 主要考虑加法器设计。
  • 三级分组先行进位加法器：
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